МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА»
ІКТА кафедра ЗІ
Розрахункова робота
з курсу : «Фізика I»
на тему: «Вивід формули та обчислення числа Авогадро»
5. Вивід формули та обчислення числа Авогадро
Незважаючи на випадковий характер величини і напрямку сили, що діє на броунівську частинку, хаотичний броунівський рух підлягає певній закономірності, що виражається законом Ейнштейна: середнє значення квадрату зміщення броунівської частинки пропорційне часові, за який відбувається це зміщення.
Одержимо цю залежність. Розглянемо проекцію зміщення частинки на довільний напрямок x. Рівняння руху частинки по цьому напрямку має вигляд:
, (1)
де m – маса частинки, F1 – проекція на вісь x випадкової сумарної сили ударів молекул, що перебувають в тепловому русі, F2 – проекція на цей же напрямок сили опору середовища, зумовленої в‘язкістю рідиини. За законом Стокса:
,
де ( – коефіцієнт в`язкості рідини, r – радіус частинки. Знак “–” означає, що сила F2 спрямована проти руху частинки.
Потрібно звернути увагу на те, що сила F2, як і сила F1, обумовлена ударами молекул. Однак, в першому випадку, ці удари зв‘язані з направленим рухом молекули (або частинки відносно молекули), а в другому – з хаотичним.
Введемо позначення a=6(r( і підставимо значення F2 в (1):
. (2)
Помножимо рівність (2) на x:
. (3)
Враховуючи тотожності:
(4)
та
, (5)
наведемо (3) у вигляді:
(6)
Сила F1 змінюється хаотично як за величиною, так і за напрямком, тому запишемо рівняння руху частинки через середні характеристики цього руху: , , .
Відповідні середні значення, які характеризують рух даної частинки, можна знайти, якщо n разів (n – велике) виміряти відповідні величини однієї і тієї ж частинки через рівні інтервали часу.
При усередненні (6) врахуємо, що <F1>=0 і <x>=0, тому що знаки проекції сили (також зміщення) в довільний момент часу рівноймовірні. Враховуючи також, що F1 та x – незалежні величини, одержимо: <F1x>=0.
В результаті розглянутого усереднення вираз (6) матиме такий вигляд:
, (7)
.
Другий доданок рівняння (7) дорівняює подвоєному значенню середньої кінетичної енергії, що припадає на один ступінь вільності броунівської частинки, тобто
, (8)
де T – абсолютна температура середовища, R – універсальна газова стала, N – число Авогадро.
Підставляємо (8) в (7) і отримаємо:
, (9)
Або
. (10)
Інтегруємо рівняння (10), маємо:
, (11)
де С – стала інтегрування.
Для досить великого інтервалу часу () з (11) видно, що:
,
або
. (12)
Останнє рівняння при інтегруванні (враховуємо, що при t=0 <x2>=0), дає вираз для середнього значення квадратазміщення броунівської частинки ( ми також скористались тим, що при t=0 <x2>=0)
, (13)
звідки
. (14)
Таким чином, знаючи радіус броунівської частинки r, а також середнє значення квадрата зміщення за відповіднийінтервал часу t, за формулою (14) можна обчислити число Авогадро.
